parabole

segment AB

segment de parabole

en I la tangente (CD) est parallèle à (AB)
l'aire du triangle AIB (en vert) est la moitié 
de l'aire du parallélogramme ABCD

donc en enlevant le triangle ABI
au “segment de parabole” ABI
on lui enlève plus de sa moitié
puisqu'il lui reste moins de sa moitié

on peut appliquer le principe d'Archimède

de plus Archimède et Apollonius démontrent
que l'aire en bleu est le quart de l'aire en vert

finalement l'aire du segment de parabole est égale à
 $a+\frac{1}{4}a+\frac{1}{16}a+ ...$

a

⇒

a: 0.5
f(x) = If[-3 < x < 3, (a * x^(2))]
A = Point(f)
B = Point(f)
AB = Segment(A, B)
m: (y(B) - y(A)) / (x(B) - x(A))
p: y(A) - (m * x(A))
h = Integral(f, -3, 3)
zone(x, y) = y > (m * x) + p ∧ x > -3 ∧ x < 3
g(x) = (m * x) + p
A': (x(A), 0)
B': (x(B), 0)
I' = Midpoint(A', B')
I: (x(I'), f(x(I')))
T = Tangent(I, f)
ABI, b, a_1, i = Polygon(A, I, B)
d: x = x(A)
d': x = x(B)
C = Intersect(d', T)
D = Intersect(d, T)
ABCD, a_2, b_1, c, d_1 = Polygon(A, B, C, D)
I'_1 = Midpoint(D, I)
I_1: (x(I'_1), f(x(I'_1)))
AI_1I, i_1, a_3, i_2 = Polygon(A, I_1, I)
I'_2 = Midpoint(I, C)
I_2: (x(I'_2), f(x(I'_2)))
IBI_2, i_3, i_4, b_2 = Polygon(I, B, I_2)
E = Point(yAxis)
F = Intersect(xAxis, yAxis)
poly1, j, k, l, n, G, H = Polygon(E, F, 4)
J = Point(l)
poly2, q, r, s, t, K, L = Polygon(J, G, 4)
M = Point(s)
poly3, e, f_1, g_1, h_1, N, O = Polygon(M, K, 4)
P = Point(g_1)
poly4, j_1, k_1, l_1, m_1, Q, R = Polygon(P, N, 4)
Y = Midpoint(Q, R)
poly5, p_1, q_1, r_1, s_1, A_1, B_1 = Polygon(Y, Q, 4)
Z = Midpoint(Q, R)
X: 3
W = Midpoint(Q, R)
n_1 = Line(H, L)
S = Point(n_1)
U = Point(n_1)
V = (32, 0)