Introduction
rappel des objectifs généraux de ce cours
- présentation
Aucune connaissance préalable n'est requise pour suivre ce cours qui s'adresse à toute personne curieuse et intéressée.
Il porte essentiellement sur les idées et les méthodes en mathématiques, quelques-uns de leurs rapports avec la physique (théorique).
- méthode
Le point de vue est en partie historique, insistant à la fois sur les continuités et les ruptures dans la construction du corpus scientifique.
Les développements suivront parfois l'ordre historique mais on ne s'interdira pas de suivre aussi un ordre "conceptuel" produit d'une reconstruction à posteriori (en le précisant à chaque fois).
De même ce cours n'étant pas un exposé universitaire des mathématiques nous ne procéderons pas de manière rigoureuse à partir des axiomes pour en déduire tous les théorèmes. Nous donnerons plutôt quelques exemples significatifs et importants de démonstrations en indiquant quels en sont les présupposés, c'est à dire les propriétés admises sans démonstrations dont on a besoin dans la démonstration.
- objectifs
Nous aborderons la dynamique de création qui est à l'œuvre dans les mathématiques lors de la résolution de problèmes.
Nous pourrons aussi débattre du sens que prend l'activité mathématique dans la société.
A travers l'histoire des mathématiques nous tenterons de comprendre comment ont été construits les outils et concepts mathématiques en liaison avec les autres domaines de la connaissance : philosophie, physique, géographie, technologie, ...
rappels des cours précédents : les origines grecques
les origines
les mathématiques avant les Grecs
Mésopotamie, Chine, Inde, ...
algorithmes, calculs approchés, ...
particularité des mathématiques grecques
Les Grecs du VIème siècle av JC ont inventé conjointement à la philosophie et à la démocratie la notion de démonstration.
Ils ont aussi introduit un point de vue axiomatique (ce qui conjugue contraintes et liberté) qui instaure une vérité indépendante de l'arbitraire d'un pouvoir personnel ou religieux.
Époque archaïque
| Evènements socio-politiques | Culture et sciences | |
| VIIIe s. av. J.-C. |
Institution des Jeux Olympiques, 776 Fondation des premières "colonies" occidentales, vers 750 Débuts de l'urbanisme fonctionnel |
Emprunt et adaptation de l'alphabet nord-sémitique Composition de l'épopée (Homère) Premiers temples monumentaux |
| VIIe s. av. J.-C. |
Réforme hoplitique Débuts de la "colonisation" en Mer Noire, vers 660) Tyrannie des Cypsélides à Corinthe (650-585) Lois de Dracon à Athènes, v. 620 |
Poésie didactique Hésiode Poésie lyrique Archiloque de Paros (vers 650) |
| VIe s. av. J.-C. |
Premières monnaies frappées par Egine Archontat de Solon à Athènes, 594 Tyrannie des Pisitratides à Athènes (vers 560 - 510) Polycrate, tyran à Samos († 523) Réformes démocratiques de la constitution à Athènes par Clisthène, 508 |
Tradition des "sept" sages , dont Thalès de Milet et Solon > Débuts de la philosophie naturelle (Thalès, Anaximandre) Développements de l'architecture et de la sculpture monumentales en pierre (v. 590-560) Début du théâtre, v. 530 Alcée, Sappho, puis Anacréon, Simonide Théognis, Xénophane, Pythagore. Naissance de Pindare, 518 |
Époque classique
| Evènements socio-politiques | Culture et sciences | |
| Ve s. av. J.-C. |
Révolte ionienne contre la Perse (499-494) Guerres médiques (490-479) Ligue de Délos et Empire athénien (478 - 404) Guerre du Péloponnèse (431 - 404) Achèvement du Parthénon, 432 Mort de Périclès, 429 Paix de Nicias, 421 Expédition athénienne en Sicile, 415 Défaite d'Athènes, 404 |
Héraclite d'Ephèse, (fl. v. 500) Parménide d'Elée, (fl. v. 480) Age d'or de la tragédie à Athènes (v. 475 - 405) Développement de la littérature technique en prose Première Sophistique Alcméon de Crotone, Anaxagore, Empédocle, Leucippe, Zénon d'Elée, Protagoras, Hérodote Hippocrate de Cos Socrate (v. 470-399) Méton d'Athènes, astronome, observe en 432 Hippocrate de Chio, Théodore de Cyrène Aristophane (v. 450-385) |
| IVe s. av. J.-C. |
Procès et mort de Socrate, 399 Philippe II roi de Macédoine, (359 - 336) Alexandre le Grand, 336 - 323 Fondation d'Alexandrie, 332-331. Mort d'Alexandre, 323 Fin de la démocratie à Athènes, 322 Partage des conquêtes d'Alexandre entre ses lieutenants, 321 Démétrios de Phalère gouverne Athènes, v. 315 Ptolémée I et Séleucos I, rois, 306 |
Archytas de Tarente (fl. v. 390) Théétète d'Athènes († 369) Platon (429-347) Fondation d'une école de rhétorique par Isocrate, v. 393 Fondation de l'Académie par Platon, 387 Eudoxe de Cnide (fl. v. 350), école à Cyzique Ménechme, Dinostrate, Callippe, ses disciples Démosthène, Aristote (384 - 322) Fondation du Lycée , 335 Eudème de Rhodes, Théophraste (v. 372 - 285) Straton de Lampsaque (v. 340-269) Exploration du Grand Nord par Pythéas de Marseille, 330 Exploration de l'Inde et du Golfe persique par Néarque, v. 325 Autolycos de Pitane (fl. v. 320) Zénon, fonde de l'école stoïcienne à Athènes, v. 310 Ecole d'Epicure à Athènes, 306 |
Époque hellénistique
| Evènements socio-politiques | Culture et sciences | |
| IIIe s. av. J.-C. |
Principauté puis royaume de Pergame, (v. 300 - 133) Fondation du Musée et de sa Bibliothèque, à Alexandrie sur les conseils de Démétrius de Phalère (?) Ptolémée II Philadelphe, roi en 283 Phare d'Alexandrie, v. 280 Fin de la conquête romaine de la Grande-Grèce, 272 Première guerre punique, 264-241 Ptolémée III Évergète, roi en 246 Ptolémée IV, Philopator, roi en 221 Deuxième guerre punique, 219-202 Prise de Syracuse par les Romains, 212 |
Éléments d'Euclide (vers 300 ?) Zénodote d'Éphèse, premier bibliothécaire Aristarque de Samos (v. 310-230) Bible des Septantes, v. 270 Conon de Samos, Callimaque ( v. 305 - 240) Dosithée de Péluse, Apollonius de Rhodes Eratosthène, Archimède (v. 287-212) Philon de Byzance (Syntaxe mécanique) Dioclès (Miroirs ardents), Nicomède (conchoïde) Eudème de Pergame Aristophane de Byzance, bibliothécaire v. 200 |
| IIe s. av. J.-C. |
Ptolémée V Épiphane, roi en 197 Eumène, roi de Pergame Grands travaux à Pergame et fondation d'une grande bibliothèque, rivale d'Alexandrie Intervention de Rome contre la Macédoine Victoire romaine sur la Macédoine, 171-168 Destruction de Carthage et Province romaine d'Afrique, 146 Destruction de Corinthe; la Grèce devient province romaine, 146 Ptolémée VIII disperse les savants du Musée, 145 Attale III lègue le royaume de Pergame à Rome, 133 Création de la Province romaine d'Asie, 129 |
Apollonius de Perge rédige ses coniques (200-195) Zénodore (figures isopérimétriques), Hypsiclès (polyèdres réguliers) Polybe (v. 200-118) est livré comme otage en 167 Il vient à Rome dans le cercle hellénisant des Scipions où il est rejoint par Panétius de Rhodes (v. 185-110) Après son séjour à Rome, Panétius dirige l'école stoïcienne, v. 130 Hipparque de Nicée (v. 180-125 ?) développe l'astronomie quantitative Théodose de Bithynie (Sphériques) et ses fils Posidonius d'Apamée (v. 135-50) |
| Ie s. av. J.-C. |
Sylla, dictateur, réforme les institutions, 88-79 Exil de Cicéron, 55 César, dictateur à vie, 45 Partage des possessions romaines (Octave, Lépide, Antoine) Asinius Pollien fonde la première bibliothèque publique à Rome sur le modèle grec, 39 Bataille d'Actium, 31 L'Egypte devient province romaine Octave accepte le titre d'Auguste, 27 avant J.C |
Cicéron (106-43) suit les cours de Posidonius à Rhodes (78-77) Géminus de Rhodes (fl. v. 70) Lucrèce (99/98-54/53) Virgile (70-19) Diodore d'Alexandrie, gnomonicien Strabon d'Amaseia, (63 av. - 19 ap.), géographe Tite-Live (59 av. -17 ap.) Composition du De Architectura de Vitruve Ovide (43-17) |
Époque impériale
| Evènements socio-politiques | Culture et sciences | |
| Ie s. |
Tibère empereur, 14 Prédication de Jésus, v. 30 Caligula emperueur, 37 Philon d'Alexandrie, juif hellénisé, vient défendre sa communauté devant Caligula, 37-41 Claude empereur, 41 Néron empereur. Incendie de Rome et premières persécutions des Chrétiens, 64 Dynastie des Flaviens, 69-96 (Vespasien, Titus, Domitien) Vespasien bannit astrologues et philosophes de Rome, 74 |
Géographie de Strabon, 7 Encyclopédie médicale de Celse, 20 Périple de la mer Erythrée, 50
Premier commentateur connu d'Euclide Sénèque († 65) Histoire naturelle de Pline l'ancien, 77 Éruption du Vésuve et destruction de Pompéï et Herculanum, 79 Débuts du passage du rouleau au codex (v. 80 ?) Plutarque de Chéronée (44-120) Ménélaus d'Alexandrie (fl. v. 100) |
| IIe s. |
Dynastie des Antonins, 98-192 (Trajan, Hadrien, Antonin, Marc-Aurèle (121-180), Commode) Extension maximale de l'Empire romain |
Nicomaque de Gérase Théon de Smyrne (fl. v. 140 ?) Claude Ptolémée (v. 100- 175) Cartes géographiques de Marin de Tyr, v. 150 Galien de Pergame (131-201) Arrivée de Galien à Rome, 162 |
| IIIe s. |
Dynastie des Sévères, 193-235 (Septime Sévère, Caracalla, Septime Alexandre) Edit de Caracalla : la citoyenneté romaine est conférée à tous les hommes libres de l'Empire, 212 Persécution générale contre les Chrétiens, 250 Premières invasions barbares, 253-276 Guerre d'Alexandrie entre Zénobie et Aurélien, 272 Réformes de Dioclétien et mise en place de la tétrarchie, 286-293 |
Septime Sévère confie une chaire de philosohie aristotélicienne à Alexandre d'Aphrodise, v. 205 Vies et opinions des philosophes de Diogène Laërce Plotin (205-270) ouvre son école à Rome, v. 244 Diophante d'Alexandrie (fl. v. 250) : arithmétique Porphyre (232-305) s'installe à Rome et devient élève de Plotin, 263 Jamblique de Chalchis (v. 250-330), élève de Porphyre, v. 298 |
| IVe s. |
Violentes persécutions contre le christianisme, 303 Constantin empereur, 306-337 Edit de Milan, 313 : Constantin le Grand autorise le christianisme Réunification de l'empire, 324 Byzance devient la capitale de l'Empire romain, 324 En 330 elle est prend le nom de Constantinople Début des persécutions contre le paganisme, 341 Invasion et installation des Goths à l'intérieur du limes, 378-380 Théodose I empereur, 383-395 Interdiction des cultes païens, 391 Partage officiel de l'Empire entre Orient et Occident, 395 |
Pappus d'Alexandrie (v. 310) : Collection mathématique commente Euclide et Ptolémée. Première basilique Saint-Pierre, 321 Concile de Nicée : condamnation de l'arianisme, 325 Théon d'Alexandrie (fl. v. 365), membre du Musée réédite Euclide. Commente Ptolémée. Synésius de Cyrène (v. 373-414) étudie à Alexandrie avec Hypatie, fille de Théon Destruction du Sérapieion (et de sa bibliothèque ?) à Alexandrie, 391 Conversion d'Augustin d'Hippone (354-430), 386 |
Antiquité tardive
| Evènements socio-politiques | Culture et sciences | |
| Ve s. |
Sac de Rome par les Wisigoths d'Alaric, 410 Meurtre de la philosophe et mathématicienne Hypatie à Alexandrie, 415 Début de la compilation du droit romain, 429 Victoire d'Aétius aux Champs catalauniques sur Attila, 451 Romulus, empereur d'Occident déposé par Odoacre, 476 Clovis, roi des Francs, 481-511 Première rupture entre églises d'Orient et d'Occident, 484 Théodoric prend Ravenne et se fait reconnaître Roi d'Italie par l'empereur, 493 |
La cité de Dieu d'Augustin, 413 Martianus Capella (Noces de Mercure et Philologie ), v. 430 (?) Proclus de Lycie (410-485) succède à Syrianus à la tête de l'école néoplatonicienne, v. 438. Il commente les El. d'Euclide Son disciple Marinus de Nauplie commente les Data d'Euclide Domninos de Larissa, Manuel d'introduction arithmétique Damascius (v. 470-544), dernier Diadoque de l'Académie Boèce (470-525) traduit en latin l'Introduction de Porphyre à l'Organon d'Aristote et, de celui-ci, au moins les Catégories et le De interpretatione |
| VIe s.-VIIe s. |
Avènement de Justinien, 527 Proscription du paganisme, 528 Fermeture, par Justinien, des écoles philosophiques d'Athènes, 529 Justinien se propose de reconstituer le grand Empire romain Affrontements répétés entre les Empires byzantin et perse, 610-641 Retour de Mahomet à la Mecque, 630 Conquête arabes (Perse, Palestine, Egypte) 634-651 |
Eutocius d'Ascalon (fl. 510), réédite Apollonius. Commente Archimède. Benoït de Murcie fonde le monastère du Mont Cassin, 519 et rédige la règle bénédictine, 526 Anthémius de Tralles, Isidore de Milet (†550), amis d'Eutocius, architectes de Sainte Sophie v. 550 le consul Cassiodore se retire de la vie publique et fonde un monastère à Vivarium Rivalité entre Simplicius (fl. 529) et Jean Philopon (v. 490-566), commentateurs d'Aristote, l'un à Athènes, l'autre à Alexandrie Fondation du monastère de Bobbio, 614 Isidore de Séville, († 636) |
les cours de cette année
- Partie 1 : mathématiques grecques (2ème partie)
analyse infinitésimale, coniques, arithmétique
- Partie 2 : la révolution arabe et ses conséquences en Occident
numération décimale, algèbre, les origines de la Renaissance
- Partie 3 : De la Renaissance aux débuts de la physique moderne
Galilée, Newton
les Éléments d'Euclide
les Eléments
Les Eléments d'Euclide datent de -300 environ. Synthèse des connaissances de cette époque
- conception axiomatico-déductive : définitions, postulats, déductions
- organisation
- livres I à VI : géométrie plane
- livres VII à IX : arithmétique
- livre X : les grandeurs irrationnelles
- livres XI à XIII : géométrie dans l'espace
- livres I à VI : géométrie plane
Quelques problèmes dans les Eléments : le rôle des définitions, l'axiome des parallèles, les présupposés implicites
le statut des Éléments
Comparaison entre les Éléments d'Euclide et ceux de Bourbaki au XXème siècle
le point des problèmes
irrationalité
continu, infiniment grand, infiniment petit
la méthode d'exhaustion
statut des calculs approchés en mathématiques
le calcul approché du périmètre
Archimède parvient à calculer une valeur approchée du périmètre du cercle en utilisant des polygones réguliers inscrits ayant de plus en plus de côtés.
Il s'agit d'une méthode algorithmique (qui avait peut-être été utilisée avant lui).
Cependant y sont présentes :
- l'idée d'approcher le cercle par une figure polygonale
- l'idée que l'erreur faite lors de cette approximation peut être rendue aussi petite que l'on veut
geogebra : calcul du périmètre et de l'aire d'un cercle
démonstrations et calcul de π
Les calculs approchés précédents n'utilisent pas du tout π. En fait ils peuvent être conduits pour d'autres figures que le cercle (voir après).
Pour en déduire des valeurs approchées de π il faut d'abord avoir à sa disposition les formules donnant le périmètre et l'aire du cercle
le périmètre du cercle (démonstration)
Il avait été nécessaire de démontrer que le périmètre du cercle est proportionnel à son diamètre.
l'aire du disque (démonstration)
De même les Grecs avaient démontré que l'aire du disque est égale au produit de son rayon par son demi-périmètre et on peut en déduire la formule :
aire du disque = \(\pi \times R^2\)
le principe d'Archimède
La méthode qui permet de calculer l'aire du disque avec des polygones inscrits est basée sur le principe suivant (attribué à Eudoxe par Archimède) :
- première formulation :
Étant données 2 grandeurs \(a\) et \(A\) avec \(a < A\)
si je soustrais de \(A\) une grandeur supérieure à sa moitié \(\frac{A}{2}\)
puis si je soustrais du reste \(r\) une grandeur supérieure à sa moitié \(\frac{r}{2}\)
et ainsi de suite, ...
je finirai, en un nombre fini d'étapes, par obtenir une grandeur plus petite que \(a\)
- autre formulation :
Étant données 2 grandeurs \(a\) et \(A\) avec \(a < A\)
je peux trouver un entier \(n > 0\) tel que \(n \times a > A\)
- la deuxième formulation montre que si ce principe n'était pas vérifié on aurait des infiniment petits.
les développements futurs
- Cavalieri, Leibniz, Fermat
indivisibles, quantités évanouissantes, infinitésimaux : le statut de l'infiniment petit et de l'infiniment grand.
- Newton, Riemann
le calcul intégral, les débuts de l'analyse infinitésimale
- physique : vitesse et distance
- l'analyse non-standard (XXème siècle) : des infiniment petits ou grands actuels enfin formalisés avec rigueur.
- la numérisation
les coniques
histoire
L'intérêt pour ces courbes semble venir de problèmes anciens comme celui de la duplication du cube (problème de Delos) qui n'a pas de solution rationnelle ni à la règle et au compas (théorème de Wentzel 1830)
duplication du cube
Menechme - Platon - Eudoxe de Cnide - Euclide (-325, -265) - Archimède (-287, -212) - Apollonius de Perge (-262, -190)
Le "traité des coniques" d'Apollonius de Perge sera abondamment lu et commenté par les arabes au VIIIème siècle
Apollonius
Archimède
développements futurs
perspective
mécanique et astronomie
les coniques seront utilisées au XVIIème siècle pour décrire les trajectoires dans le cadre de la gravitation
une parabole pour la télévision
principe de convergence (peut-être déjà utilisé par Archimède lors du siège de Syracuse)
complément de géométrie dans l'espace
l'aire de la sphère
retour sur la question concernant Kepler
différence entre induction et déduction
les polyèdres réguliers
présentation
Il y en a 5 :
les 5 polyèdres réguliers
La dualité :
- cube octaèdre
- dodécaèdre et icosaèdre
- tétraèdre
rapports avec la philosophie
- Platon, la figuration des éléments
- la figuration du monde : modèles astronomiques de Képler
arithmétique
Pythagore
représentation du monde :
- toujours un logos rationnel
- mais une représentation symbolique par les nombres entiers
tout est nombre entier
les nombres figurés
exemples
les nombres triangulaires
- formule 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
démonstration visuelle des Grecs
la démonstration de Gauss
- une démonstration par récurrence par Pascal en 1654
exercices pour la semaine prochaine
- que vaut 2 + 4 + ... + 2n ? (somme des pairs)
- et la somme des impairs ?
- et la somme des carrés ?
retour sur la semaine précédente
- la beauté chez les Grecs
- problème avec le site : utilisation de geogebra
le plus simple :
télécharger geogebra
- sur la page web : clic droit sur le lien + sauvegarder le fichier sur le bureau (ou ailleurs)
- exécuter geogebra
- menu Fichier / Ouvrir : aller chercher le fichier sur le bureau
réponses aux exercices
- somme des nombres pairs de 2 à 1000
\(2 + 4 + 6 + ... + 1000 = \frac{500 x 1002}{2} = 500 \times 501\)
\(2 + 4 + 6 + ... + (2 \times n) = n \times (n + 1)\) - somme des nombres impairs de 1 à 1001
On peut le faire avec la méthode de Gauss
On peut aussi le faire en utilisant les nombres carrés (voir après)
En général : \(1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n^2\) somme des nombres carrés de 1² à 1000²
- valeur des nombres pentagonaux : 1 5 12 22 35
la suite des différences est la suite arithmétique 4 7 10 13 de raison 3
donc \(u_n = 1 + 4 + 7 + ... + (3 \times n - 2)\) (addition de n termes) qu'on peut calculer avec la méthode de Gauss.
On obtient \(u_n = \frac{n \times (3 \times n - 1)}{2}\)
les carrés
- génération et gnomon : \((n+1)^2=n^2 + 2 \times n + 1\) (figure avec des rectangles)
- application : somme des nombres impairs
triplets pythagoriciens
problème : trouver des triangles rectangles dont les côtés sont des entiers
ceci revient à trouver 3 nombres entiers a, b et c tels que a²+b²=c²
exemple 1 : (3, 4, 5)
exemple 2 : (5, 12, 13)
en trouver d'autres ?
utilisation du gnomon des carrés
\((n+1)² = n²\) + un nombre impair arbitraire : donc il suffit que ce nombre impair soit un carré
ce nombre impair est égal à \(2 \times n + 1\)
prenons \(2 \times n + 1 = 9\) on obtient \(n = 4\) d'où le triplet \((4, 5, 3)\)
prenons \(2 \times n + 1 = 225\) donc \(n = 112\) d'où \((112, 113, 15)\)
- autre méthode :
- formule générale
ce sont des équimultiples de : a = m² - n², b = 2mn et c = m² + n² avec m > n sans diviseurs communs.
le théorème de Fermat
énoncé de l'hypothèse en 1610, démonstration par Wiles en 1994
On ne peut pas trouver 3 entiers non nuls a, b et c et un entier n > 2 tels que \(a^n+b^n=c^n\)
plus tard
sommes d'inverses et autres, séries convergentes (retour sur la quadrature de la parabole), suites arithmétiques et géométriques
les nombres premiers
- le crible d'Eratosthène : voir fichier netlogo
- la démonstration de l'infinitude des nombres premiers
- les nombres premiers sont les "atomes" des nombres entiers (pour la multiplication)
décomposition unique en facteurs premiers - remarque sur le raisonnement inductif
nombres premiers de la forme n² + n + 41 - les conjectures
nombres premiers jumeaux, répartition, hypothèse de Riemann - le futur : cryptographie, corps finis, ...
Diophante
des nombres figurés aux "identités remarquables"
- de (n+1)²=n²+2n+1 démontré avec le gnomon à (a+b)²=a²+2ab+b²
- l'algèbre géométrique
- les équations diophantiennes
\(x^2+y^2=z^2\), les triplets Pythagoriciens
- développements futurs
l'algèbre, Pascal, Fermat
conclusion
synthèse
les grandes questions grecques
- calculer (le modèle rationnel)
- construire (constructions à la règle et au compas)
- qu'est-ce qu'un nombre ?
- la nature du réel (infini, fini, continu, discret)
- l'alternative nombre / grandeur
histoire
Entre -300 (Euclide) et +400 la majeure partie des mathématiciens sont à Athènes mais surtout à Alexandrie.
Fin de l'ère alexandrine
- Hypathie (+400, commentaires d'Apollonius et de Diophante)
- les invasions, "disparition des connaissances" ? ...
... jusqu'au VIIIème siècle : le renouveau arabe.